Szepesi neve a futballal forrt össze, sokan az Aranycsapat tizenkettedik játékosának tartották. A pálya szélén állva ő közvetítette Puskásék meccseit is, köztük a legendássá vált londoni 6:3-at.

A sportriporter természetesen a Világbajnokságoknak is elmaradhatatlan résztvevője volt, 1954 és 2010 között közvetített a tornákról, 14 vb-n volt ott. A Guinness-rekordok Könyvébe is bekerült, mint a leghosszabb ideig tevékenykedő sportriporter, debütálása után hatvan évvel, a 2005-ös magyar–argentin futballmeccsen is szakkommentátorkodott még.

Szepesi volt az első magyar, aki a tévében közvetített futballmeccset, 1957-ben a Magyarország–NDK találkozón debütált.

Nemcsak sportriporterként, de sportvezetőként is dolgozott, 1978 és 1986 között a Magyar Labdarúgó Szövetség (MLSZ) elnöke volt, részben neki köszönhető, hogy Puskás 1981-ben hazatérhetett az emigrációból. Szepesi 1982 és 1994 között a FIFA vezető testületének is tagja volt.

Munkásságát elismerve számos díjban részesült, megkapta a NOB Olimpiai Érdemrend ezüst fokozatát, 2005-től Budapest díszpolgára volt, 2005-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend középkeresztjét vehette át.  2016-ban az MLSZ Életműdíját kapta meg. A róla elnevezett Szepesi-díjat, amellyel a hazai újságírás és sportújságírás egyik meghatározó alakját díjazzák, először 2015-ben adták át.